Перспектива и проективная геометрия. Решение задач по математике. Помогу решить задания студентам в сессию

Перспектива и проективная геометрия

Что это такое?

Репетитор МФТИ расскажет и объяснит онлайн!

Пример урока математики:

Назовем коникой множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие.
Рассмотрим проективное отображение пучка с вершиной М на пучок с вершиной N.
Общую прямую MN назовем l. Если бы прямая l, и т. д.

Контакты репетитора по математике в Москве - на видео:

Помощь в решении нестандартных задач по математике для 9 класса, консультирование дистанционно

Задачи для самостоятельного решения
Кривые второго порядка на проективной плоскости
1. Проективное соответствие между прямыми двух пучков L и L´ определяющих кривую второго порядка, задано тремя парами соответственных прямых а и а´, b и b´, с и с´.
а) Построить несколько точек кривой второго порядка.
б) Построить касательные к кривой второго порядка в точках L и L´.
2. Проективное соответствие между двумя проективными прямыми l и l´, задано тремя парами соответственных точек: А и А´, В и В´, С и С´. Построить образ произвольной точки.
3. Доказать, что пять точек плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, определяют единственный пучок второго порядка.

Помогу решить математику, тервер. Дискретная математика. Помощь по теории вероятностей и математической статистике

4. Даны пять точек кривой второго порядка L и L´, А, В, С. Построить какую-либо шестую точку кривой.
5. Найти геометрическое место вершин С треугольника, стороны которого вращаются около трех неподвижных точек, а две другие вершины А и В скользят по двум неподвижным прямым а и b.
6. Два постоянных угла α и β вращаются вокруг своих вершин А и В так, что точка М пересечения сторон АМ и ВМ скользит по данной прямой l. Какую линию описывает точка N пересечения двух других сторон?

Решаем и такие задачи по математике (пример с онлайн экзамена)

Помогу решить и задачи по дискретной математике - теории множеств, графов и т.п.
Смотрите Mathematics online - математика онлайн

Построение элементов кривых второго порядка на проективной плоскости с помощью теорем Паскаля и Брианшона

1. Даны пять точек кривой второго порядка. Построить шестую точку кривой второго порядка.
2. Даны пять касательных t₁, t₂, t₃, t₄, t₅ кривой 2-го порядка. Построить какую-либо шестую касательную.
3. Кривая второго порядка задана пятью точками Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ Т₅. Построить касательную в одной из них.
4. Даны пять касательных к кривой второго порядка. Построить точку соприкосновения одной из них.
5. Даны четыре точки кривой второго порядка и касательная в одной из них. Построить какую-либо пятую точку кривой.
6. Кривая второго порядка задана четырьмя точками и касательной в одной из них. Построить касательную в какой-либо другой из данных точек.
7. Кривая второго порядка задана тремя точками и двумя касательными в двух данных точках. Построить:
а) касательную в третьей точке;
б) какую-нибудь четвертую точку кривой.
8. Построить третью вершину трехвершинника, вписанного в кривую второго порядка, если известны две его вершины, касательные в этих вершинах к кривой второго порядка и прямая Паскаля для трехвершинника.
9. Даны три вершины четырехугольника, вписанного в ряд второго порядка. Построить пятую точку ряда второго порядка, если известна касательная в одной из данных точек и прямая Паскаля данного четырехугольника.
10. Даны пять касательных к кривой второго порядка и точка М на одной из них. Построить вторую касательную к кривой, проходящую через точку М.
11. Если вокруг кривой второго порядка описан четырехсторонник ABCD, то диагонали AC и BD и прямые Т₁Т₃ и Т₂Т₄, соединяющие точки касания сторон четырехсторонника с кривой k, проходят через точку S. Доказать. Репетитор поможет решить математику.

Построение кривых второго порядка на евклидовой плоскости с использованием средств проективной геометрии

1. Доказать, что парабола вполне определяется:
а) осью, вершиной и точкой;
б) диаметром, касательной в точке пересечения диаметра с параболой и точкой;
в) диаметром и тремя точками;
г) диаметром, двумя точками и касательной в одной из них.
2. Доказать, что гипербола вполне определяется:
а) асимптотами и точкой (или касательной);
б) асимптотой и тремя точками (или тремя касательными);
в) двумя асимптотическими направлениями и тремя точками.
3. Доказать, что эллипс вполне определяется:
а) двумя вершинами и точкой (или касательной);
б) хордой диаметра и двумя точками;
в) хордами двух сопряженных диаметров.
4. Гипербола задана асимптотами а, b и точкой М. Построить касательную в точке М.
5. Гипербола задана асимптотами a, b и точкой М. Построить точку N гиперболы, отличную от М.
6. Доказать, что отрезок касательной к гиперболе, заключенный между асимптотами, делится точкой касания пополам.

Репетитор МФТИ решит задачи задания открытого банка ЕГЭ!

Помощь в решении нестандартных задач по математике для 10 и 11 класса, уроки и консультации дистанционно

7. Гипербола задана асимптотой и тремя точками:
а) построить касательную в одной из точек;
б) построить какую-либо четвертую точку гиперболы.
7. Гипербола задана двумя асимптотическими направлениями и тремя точками: а) построить касательную в одной из данных точек; б) построить какую-либо четвертую точку гиперболы.
8. Парабола задана осью l, вершиной М и точкой N: а) построить касательную в точке N; б) построить какую-либо точку, отличную от точки М.
9. Дана окружность и на ней точка А. Провести касательную к окружности в точке А, пользуясь одной линейкой.
10. Дана дуга МN окружности и прямая l, пересекающая эту дугу в одной точке. С помощью одной линейки определить вторую точку пересечения прямой l с окружностью.
11. В евклидовой плоскости дана кривая второго порядка и точка Р внутри ее. Построить хорду, делящуюся в точке Р пополам.
12. Из внешней точки Р провести касательную к начерченной окружности, пользуясь одной линейкой.